Αναμείνατε ολίγον τι
Επιστήμες

Η Mona Lisa του μαθηματικού Da Vinci

Η Mona Lisa του μαθηματικού Da Vinci

Το όνειρο του μαθηματικού Robert Bosch δεν ήταν ποτέ να γίνει καλλιτέχνης. Ωστόσο, πριν 16 περίπου χρόνια, άρχισε να αναζητά τρόπους ώστε να προσελκύσει φοιτητές στην έρευνα που αφορά την βελτιστοποίηση προβλημάτων, τον τομέα της ειδικότητάς του.

Η βελτιστοποίηση είναι η μαθηματική αναζήτηση για την εύρεση του καλύτερου τρόπου να κάνετε κάτι: είτε πρόκειται για τον υπολογισμό της συντομότερης απόστασης μεταξύ δύο σημείων, είτε για τον καλύτερο δυνατό τρόπο τοποθέτησης των ρούχων σας σε μία βαλίτσα. Το εύρος των εφαρμογών της θεωρίας βελτιστοποίησης είναι εξαιρετικά μεγάλο.

«Ήθελα να πείσω τους μαθητές μου ότι το αντικείμενο που διδάσκω είναι όμορφο και με πάρα πολλές εφαρμογές», αναφέρει ο Bosch, καθηγητής στο Oberlin College στο Οχάιο. «Η αποστολή μου ήταν να τους αποδείξω ότι σχεδόν οποιοδήποτε πεδίο κι αν σκεφτεί κανείς, μπορεί να βρεθούν εφαρμογές βελτιστοποίησης.»

Έτσι, o Bosch μπήκε στην διαδικασία αναζήτησης παραδειγμάτων που φαινομενικά δεν μπορεί να συνδέσει κάποιος με τα μαθηματικά. Και κατέληξε στην εικαστική τέχνη. Μπορεί να μην υπήρχε κάποια προφανής σύνδεση μεταξύ της βελτιστοποίησης και των εικαστικών, όμως ο Bosch σκέφτηκε ότι ακριβώς αυτό έψαχνε! Αν μπορούσε να δείξει στους μαθητές του πώς οι μέθοδοι βελτιστοποίησης μπορούν να παράγουν τέχνη, τότε ίσως θα μπορούσε να τους πείσει ότι ο τομέας της βελτιστοποίησης βρίσκει εφαρμογή παντού. Ο στόχος του αυτός τού «έγινε εμμονή», αναφέρει.

Και απέδωσε καρπούς: Ο Bosch είναι πλέον γνωστός στους κύκλους των μαθηματικών καθώς και σε εκείνους της «μαθηματικής τέχνης», για τα γραμμικά του σχέδια, τα ψηφιδωτά και τα γλυπτά που δημιουργεί χρησιμοποιώντας λύσεις προβλημάτων βελτιστοποίησης. Οργανώνει επίσης μαθήματα μαθηματικής τέχνης σε γκαλερί και συνέδρια και έχει δώσει διαλέξεις έχοντας ως κοινό παιδιά δημοτικού σχολείου, μέχρι και ενήλικες με ανήσυχο μαθηματικό πνεύμα, στο Museum of Math στη Νέα Υόρκη.

Το μεγαλύτερο μέρος του έργου τού Bosch προέρχεται από το Traveling Salesman Problem (TSP), ένα από τα πιο γνωστά και περισσότερο μελετημένα παραδείγματα στην έρευνα βελτιστοποίησης. Όπως όλα τα καλά προβλήματα, είναι εύκολο να τα διατυπώσει κανείς και δύσκολο, ίσως αδύνατο – να λυθεί. Φανταστείτε έναν ταξιδιώτη ο οποίος πρέπει να επισκεφθεί κάθε πόλη σε μια δεδομένη λίστα μόνο μια φορά και έπειτα να επιστρέψει στο σημείο εκκίνησης.

Ποια είναι η συντομότερη διαδρομή που μπορεί να ακολουθήσει;

Εάν επισημάνετε συγκεκριμένες πόλεις σε ένα χάρτη, θα δείχνουν όπως ένα παζλ dot-to-dot που σας ζητά να ενώσετε όλες τις τελείες ώστε να σχεδιάσετε τη συντομότερη πιθανή γραμμή μεταξύ τους. Για μια μικρή λίστα πόλεων, το TSP είναι εύκολο να επιλυθεί: απλά μπορείτε να μετρήσετε όλες τις πιθανές διαδρομές και να επιλέξετε τη συντομότερη. Όσο όμως η λίστα αυξάνεται, τόσο αυξάνεται και η δυσκολία επίλυσης του προβλήματος.

Σκεφτείτε τώρα το εξής πρόβλημα: Βρείτε το συντομότερη διαδρομή ώστε να ταξιδέψετε μεταξύ 10 πόλεων.  ‘Ισως ακούγεται κάτι απλό. Ωστόσο, απαιτεί τη σύγκριση εκατοντάδων χιλιάδων πιθανών διαδρομών. Η στρατηγική τού να ακολουθήσει κανείς το συντομότερο μονοπάτι καθίσταται αδύνατη όταν ο κατάλογος των πόλεων φτάνει τις εκατοντάδες ή τις χιλιάδες.

Οι μαθηματικοί δεν μπορούν να λύσουν το πρόβλημα δαπανώντας κάποιο εύλογο χρονικό διάστημα για κάθε δεδομένο αριθμό πόλεων και δεν γνωρίζουν αν κάποια άλλη στρατηγική θα μπορούσε ποτέ να έχει καλύτερη απόδοση. Οι μαθηματικοί είναι ωστόσο σε θέση να ελέγξουν αν κάποια λύση είναι καλύτερη από κάποια άλλη. Άλλωστε σε πολλά πεδία, αρκεί να έχουμε μια πολύ καλή λύση- κι ας μην είναι πάντοτε η βέλτιστη.

Το TSP μπορεί να προκαλέσει σε πολλούς πονοκέφαλο. Όμως για τον Bosch, αποτελεί καλλιτεχνική έμπνευση. Για να δημιουργήσει τις εικόνες του, ο Bosch χρησιμοποιεί ένα υπολογιστικό πρόγραμμα για να μετατρέψει ένα σχέδιο (ή ζωγραφική ή φωτογραφία) σε ένα σύνολο από τελείες. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν μαύρες τελείες με μεγαλύτερη πυκνότητα δημιουργώντας πιο σκοτεινές περιοχές σε ένα σχέδιο, ενώ οι πιο φωτεινές περιοχές αποτυπώνονται με τελείες που έχουν μεγαλύτερες αποστάσεις μεταξύ τους. Οι γκρι αποχρώσεις δημιουργούνται με μια τεχνική που ονομάζεται ημιτονική.

O Bosch συνεργάστηκε αρχικά με τον μαθητή του Adrianne Herman και αργότερα με τον Craig Kaplan, έναν ειδικό στα computer graphics, στο Πανεπιστήμιο του Waterloo, στον Καναδά, έχοντας σαν στόχο τη βελτίωση αυτής της προσέγγισης.

Στη συνέχεια τη σκυτάλη πήραν τα μαθηματικά. Εδώ, ο Bosch χρησιμοποιεί έναν αλγόριθμο που εντοπίζει μια βέλτιστη, μη επικαλυπτόμενη TSP διαδρομή μέσα από τις τελείες. Ο αλγόριθμος δεν βρίσκει απαραιτήτως την καλύτερη διαδρομή – όμως η διαδρομή που βρίσκει είναι πολύ καλή.
Έπειτα, αναλαμβάνει το σχεδιαστικό κομμάτι μέσω του υπολογιστή. Στόχος του Bosch είναι τα γραμμικά σχέδια που προκύπτουν να έχουν ως αποτέλεσμα μια πειστική αναπαράσταση του προτύπου.

Κατά κανόνα, οι γεωμετρικές βέλτιστες διαδρομές TSP ποτέ δεν τέμνουν τον εαυτό τους, πράγμα που σημαίνει ότι οι εικόνες του Bosch περιλαμβάνουν μία μόνο γραμμή που τελειώνει εκεί απ’ όπου ξεκίνησε- κάτι που οι μαθηματικοί ονομάζουν κλειστή καμπύλη. Ένα από τα πρώτα κομμάτια του Bosch ήταν ένα αντίγραφο που προέρχεται από το TSP της Μονά Λίζα του Λεονάρντο Ντα Βίντσι. Ο Bosch έχει επίσης αναπαράγει έργα του Andy Warhol. Πλέον, προσπαθεί να δημιουργήσει έργα με την ίδια ποιότητα μέσω της τέχνης TSP, αλλά με όλο και λιγότερες τελείες.  Επιθυμεί να δημιουργήσει έργα τέχνης που εξαρτώνται λιγότερο από γρήγορους υπολογιστές και περισσότερο από τη μαθηματική μοντελοποίηση.

Αυτή η επιθυμία, αναφέρει ο Bosch, είναι καθολική. «Ποιο είναι το καλύτερο που μπορούμε να κάνουμε βάσει των περιορισμών που έχουμε; Αυτό αποτελεί ένα θεμελιώδες ανθρώπινο πρόβλημα.»

Ο Bosch αναφέρει ότι οι προσπάθειές του έχουν αποδώσει στην τάξη. Το TSP art παρέχει έναν τρόπο για να αρχίσει κανείς να βλέπει την βελτιστοποίηση με άλλη ματιά. Μάλιστα, πολλοί από τους πρώην μαθητές του αξιοποίησαν τη συγκεκριμένη μέθοδο για τη δημιουργία δικών τους έργων τέχνης. Τρεις από αυτούς, παρουσίασαν πρωτότυπα μαθηματικά έργα τέχνης στο Jyväskylä, στη Φινλανδία, στην ετήσια γιορτή της τομής των μαθηματικών με τις τέχνες.

Για να δείτε μερικά από τα  TSP έργα του Bosch, πατήστε εδώ.

 

Πηγή

pnas.org

 

Μοιραστείτε το άρθρο

The following two tabs change content below.
Γιώτα Ζώτου

Γιώτα Ζώτου

Είμαι απόφοιτος του Τμήματος Εφαρμοσμένων Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης και κάθε προσπάθεια για περαιτέρω βελτίωση, που έχει σαν στόχο την διευκόλυνση της καθημερινότητας του ανθρώπου άπτεται των ενδιαφερόντων μου. Μέσα από αυτό το site λοιπόν θα μοιραζόμαστε ερευνητικά δεδομένα και εξελίξεις που αφορούν στις επιστήμες και την τεχνολογία, τα οποία έμμεσα ή άμεσα μας αφορούν και αξίζει να γνωρίζουμε.

Αφήστε ένα σχόλιο

Επιλογές της ομάδας
σκίτσο του Άλμπερτ Αϊνστάιν
Πώς τα μυστικά των πρώτων αριθμών κάνουν τον κόσμο μας ασφαλέστερο
Πώς ο Ερατοσθένης υπολόγισε την περιφέρεια της Γης πάνω από 2000 χρόνια πριν;
Τι θα γινόταν αν ο αυτισμός ήταν ... υπερδύναμη;
Εκπληκτικές φωτογραφίες του Cassini λίγο πριν τη συντριβή του στον Κρόνο